回溯算法思想与八皇后问题解的个数

作者：silenceyawen，原文地址

摘要: 本文介绍了回溯法的算法思想，以及通过解决八皇后问题以及寻找八皇后问题解的个数，实践了回溯法的具体使用。

在8*8的国际象棋棋盘上，皇后是威力较大的棋子，它可以攻击到与自己同行、同列以及同一斜线上的棋子，如下图，所有橙色格子上的棋子，都可能会被皇后攻击：

而八皇后问题就是在8*8的棋盘上，找到合适的位置放置8个皇后，让它们不会相互攻击，而且需要找出这样的放法共有多少种。

回溯法就是当我们确定了一个问题的解空间的结构后，从根节点出发，以深度优先的方式去遍历解空间，找到合适的解。所以用此方法分析八皇后问题如下：

将棋盘看作0-7的平面直角坐标系，八皇后问题的解就是寻找八个点的坐标（i,j）。先抛开具体问题的约束来看，我们要寻找的第一个坐标有64中可能，当第一个坐标确定后，第二个坐标也有64中可能，第三个同样如此......因此，所有可能的解形成了一个64叉树（类比二叉树的说法），这就是有可能的解（64^8种可能），解空间结构是64叉树形状的。

基于此解空间的结构，才能以深度优先的方式去遍历解空间，并寻找合适的解。

当我们结合问题对解的约束来看，八皇后问题的解就是这个64叉树上某些从根节点到叶子节点的路径上的坐标。具体约束就是皇后的攻击规则（任意两点不能在同一直线或斜线上）。

也就是将皇后一个个摆上去，当我们摆到第n个皇后时，若发现按照约束条件，任何位置都不能摆放，那就说明第n-1个皇后在当前位置不能得到正确的解，所以需要重新确定第n-1个皇后的位置。若第n-1个皇后再无其他位置可摆放，则需要重新确定第n-2个皇后的位置......

这就是回溯遍历解空间，在算法实现时，可以使用递归或迭代进行回溯遍历，分别被称为递归回溯和迭代回溯。

算法使用名为queen的二维int数组表示棋盘，数组的索引表示0-7的坐标，值为0表示空白，值为1表示皇后的摆放位置。

由于任意一行不能有两个皇后，所以每一行必须摆放一个，因此程序在每一行依次尝试：

package com.yawn.queen;

/**
 * @author yawn
 */
public class QueenTest {

    private static final int SIZE = 8;

    private static int[][] queen = new int[SIZE][SIZE];

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
            // 每一行都从0位置开始尝试放置
            place(i, 0);
        }
        printQueen("结果为");
    }

    /**
     * 第i行的放置
     */
    private static void place(int i, int start) {
        // 是否放置成功
        boolean placed = false;
        for(int j = start; j < SIZE; j++) {
            if (check(i, j)) {
                queen[i][j] = 1;
                placed = true;
                printQueen("第 " + i + " 行放置");
                break;
            }
        }
        if (!placed) {
            int index = seek(i - 1);
            // 去掉已经放置的皇后
            queen[i-1][index] = 0;
            printQueen("回溯到第 " + (i-1) + " 行，从 " + (index+1) + " 开始");
            place(i-1, index+1);
            place(i, 0);
        }
    }

    /// 以下为工具方法，内容单一，浅显易懂
    /**
     * 输出棋盘
     */
    private static void printQueen(String action) {
        System.out.println("---> " + action);
        for (int[] cells : queen) {
            for (int cell : cells) {
                System.out.print(cell + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 寻找第i行放置皇后的位置
     */
    private static int seek(int i) {
        for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
            if (queen[i][j] == 1) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 检查queen[i][j] 是否可以放置皇后
     */
    private static boolean check(int i, int j) {
        for(int m = 0; m < SIZE; m++) {
            for(int n = 0; n < SIZE; n++) {
                if (queen[m][n]==1 && (i == m || j == n || Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n))) {
                    // queen[m][n]==1 ：(m,n)位置有皇后
                    // i == m ：同行
                    // j == n ：同列
                    // Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n) ：同一斜线（两个位置连线的斜率绝对值为1）
                    // 如果满足if条件，则(i,j)不可放置皇后
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

求解过程中的输出片段如下：

---> 第 5 行放置
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   0   1   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
---> 回溯到第 5 行，从 3 开始
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
---> 第 5 行放置
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   0   0   1   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   0   

我们可以看出：第5行放置在了（5，2）位置，然后尝试放置第六行，结果第6行无法放置，所以回溯到第5行，从（5，3）位置继续尝试放置，并在（5，3）放置成功。

以上代码为我们找到了问题的一个解，但我们想知道一共有多少解存在，这就需要我们稍微修改代码，具体如下：

在以上代码中，若找到一个可行的解之后，程序就会执行结束。但我们若要找到所有的解，就需要在找到可行解后，继续让程序尝试下一个解即可。具体做法就是当最后一行都可以放置好皇后时，我们只记录这个解，然后再让程序尝试当前位置的下一个位置，而不退出程序。

当遍历完所有可能的解之后，就可以停止程序。由于在递归调用过程中，会产生很深的方法栈，导致栈满报错，所以棋盘不宜设置太大：

八皇后问题解的个数具体实现如下：

package com.yawn.queen;

/**
 * @author yawn
 */
public class QueenTest2 {

    private static final int SIZE = 12;
    private static int count = 0;

    private static int[][] queen = new int[SIZE][SIZE];

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
            place(i, 0);
        }
    }

    /**
     * 第i行的放置
     */
    private static void place(int i, int start) {
        if (i==0 && start== SIZE) {
            System.out.println("结果集已经遍历完毕，共找到结果数为：" + count);
            System.exit(0);
        }
        // 第i行是否放置成功
        boolean rowPlaced = false;
        // 遍历第i行每个位置是否可以放置皇后
        for(int j = start; j < SIZE; j++) {
            if (check(i, j)) {
                queen[i][j] = 1;
                rowPlaced = true;
                // 最后一行放置成功，则得到一个结果，打印结果后从下一位置继续回溯遍历结果集
                if (i== SIZE -1) {
                    count++;
                    printQueen("第" + count + "个结果，从(" + (SIZE-1) + "," + (j+1) + ")继续回溯寻找...");
                    // 去掉已经放置的皇后
                    queen[i][j] = 0;
                    place(i, j+1);
                }
                break;
            }
        }
        // 如果第i行没有放置成功，则回溯到第i-1行（重新放置第i-1行）
        if (!rowPlaced) {
            int index = seek(i - 1);
            reset(i-1, index);
            // 回溯放置第i-1行
            place(i-1, index+1);
            // 直到第i-1行放置成功，再开始放置第i行（最终将所有结果集遍历完毕后，只能使用exit(0)退出程序）
            place(i, 0);
        }
    }

    /// 以下为工具方法，内容单一，浅显易懂
    /**
     * 输出棋盘
     */
    private static void printQueen(String string) {
        System.out.println("---> " + string);
        for (int[] cells : queen) {
            for (int cell : cells) {
                System.out.print(cell + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 去掉(i,j)位置已经放置的皇后
     */
    private static void reset(int i, int j) {
        queen[i][j] = 0;
    }

    /**
     * 寻找第i行放置皇后的位置
     */
    private static int seek(int i) {
        for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
            if (queen[i][j] == 1) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 检查queen[i][j] 是否可以放置皇后
     */
    private static boolean check(int i, int j) {
        for(int m = 0; m < SIZE; m++) {
            for(int n = 0; n < SIZE; n++) {
                if (queen[m][n]==1) {
                    if (i == m || j == n || Math.abs(i - m) == Math.abs(j - n)) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

---> 第91个结果，从(7,4)继续回溯寻找...
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   1   0   0   0   0   0   
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   1   0   
0   0   0   1   0   0   0   0   
---> 第92个结果，从(7,5)继续回溯寻找...
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   0   1   0   0   0   0   
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   1   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   1   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   

结果集已经遍历完毕，共找到结果数为：92
最终棋盘规格为8*8时，共有92个解。