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向量叉积和应用：判断点是否在三角形内部

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Html/CSS JavaScript C++

要求编程判断一个点是否在三角形（三个点）内部。

可以看出，如果点在三角形的内部，沿着三边走一圈，这个点相对于行进路径始终保持相同方向（上图左三角形绿线一直在蓝线左边）；如果点在三角形的外部，沿着三条边走一圈，会有不同的结果（右图中BC前进方向对应绿线指向变为右，即P不在三角形内）。这样，只要判断点和直线的相对位置就可以了。

点的数据结构表示

这里的代码使用c++，每个点包含x坐标和y坐标，还增加了一个构造函数。

struct Point{
    int x;
    int y;
    Point(int a, int b) :x(a), y(b){ }
};

点和直线的位置关系

注意这里的直线是有方向的，例如P点在AB的坐标，但在BA的右边。

叉积的正负和两条线的夹角
高中几何知识点：
AB × AP = |AB| |AP| sin∠PAB P在AB的左边，则∠PAB在0°到180°之间， sin∠PAB > 0 。P在AB右边时，则∠PAB在-180°到0°之间 sin∠PAB < 0 因此，我们只要用AB和AP的叉积的正负，就可以判断P和AB的相对位置(AP相对AB是顺时针还是逆时针旋转)。
叉积的计算公式
这里有一个三维向量叉积的定义： a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),

这样就得到了计算叉积的函数：

int cross(const Point &a, const Point &b, const Point &p)
{
    return (b.x - a.x)*(p.y - a.y) - (b.y - a.y)*(p.x - a.x);
}

使用这个就可以得到判断点和直线位置关系的函数判断P是否在AB的左边：

bool toLeft(const Point &a, const Point &b, const Point &p)
{
    return cross(a, b, p) > 0;
}

根据上面的思路，对三角形的三边判断三次，就可以得到点是否在三角形内部了

bool inTriangle(const Point &p, const Point &a, const Point &b, const Point &c)
{
    bool res = toLeft(a, b, p);
    if (res != toLeft(b, c, p))
        return false;
    if (res != toLeft(c, a, p))
        return false;
    if (cross(a, b, c) == 0)    //ABC is in one line
        return false;
    return true;
}

测试两个点试试效果

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

struct Point{
    int x;
    int y;
    Point(int a, int b) :x(a), y(b){ }
    friend ostream& operator<<(ostream &os, Point &p);
};

int cross(const Point &a, const Point &b, const Point &p)
{
    return (b.x - a.x)*(p.y - a.y) - (b.y - a.y)*(p.x - a.x);
}

bool toLeft(const Point &a, const Point &b, const Point &p)
{
    return cross(a, b, p) > 0;
}

bool inTriangle(const Point &p, const Point &a, const Point &b, const Point &c)
{
    bool res = toLeft(a, b, p);
    if (res != toLeft(b, c, p))
        return false;
    if (res != toLeft(c, a, p))
        return false;
    if (cross(a, b, c) == 0)    //ABC is in one line，不构成三角形
        return false;
    return true;
}

ostream& operator<<(ostream &os, Point &p)
{
    os << "(" << p.x << ", " << p.y << ") " ;
    return os;
}

int main()
{
    Point A(1, 1);
    Point B(6, 3);
    Point C(4, 7);

    Point P(4, 1);
    if (inTriangle(P, A, B, C))
        cout << P << "is in Trinagle "<<A<<B<<C;
    else
        cout << P << "is not in Trinagle "<<A<<B<<C;

    printf("\n");

    Point Q(4, 5);
    if (inTriangle(Q, A, B, C))
        cout << Q << "is in Trinagle "<<A<<B<<C;
    else
        cout << Q << "is not in Trinagle "<<A<<B<<C;
    return 0;
}

结果如下：