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【算法】先生，您点的查找套餐到了（二分、插入和斐波那契查找）

标签：

Java 数据结构

参考资料

《算法（java）》 — — Robert Sedgewick， Kevin Wayne

《数据结构》 — — 严蔚敏

Interpolation Search[插值查找] — — 维基百科

Fibonacci Search[斐波那契查找] — — GeeksforGeeks

根据输入的一个关键字（Key）, 在一个有序数组内查找与该关键字值相等的元素，若找到则将该元素的下标返回，若未查找到则返回 -1。这是一种很常见的操作。

今天的文章主要介绍在有序数组中的三种查找方法：

二分查找
插值查找
裴波纳契查找

在数据量很小的情况下，我们可能会选择用顺序查找的方式处理。

顺序查找

顺序查找，就是逐个遍历数组中的每一个元素，逐个比较它们和关键字是否相等，当查找到相等元素时，遍历停止。

例如在下面这个数组中查找值为8的元素的下标, 查找成功需要进行9次比较。

当数组的规模逐渐扩大时候，因为比较次数太多，顺序查找耗时太长。所以我们想，有什么方法能减少比较的次数呢？

二分查找

在介绍二分查找前，先让我来插一段故事。。。

这个名扬京华的食府，在一天的多数时辰里，都是坐无虚席。

就在这时，一位慕名前来的食客。在等候许久后，终于等来了他点的菜品。

这位客人，叫做有序数组。

“先生您好，这是您点的查找套餐”，店小二终于赶了过来。摆上了第一道菜。

“二分菜系么”，客人轻语着，瞧见那盛菜的雪色素瓷上，清晰的镌刻着 1/2 这个数字。

客人笑了，“仅凭一道家常菜，便能艳压京华众食府，贵店的厨子果然名不虚传呢”

（未完待续）

咳咳，回到正文——二分查找

二分查找的思想

设置一个循环，不断将数组的中间值（mid）和被查找的值比较，如果被查找的值等于a[mid],就返回mid; 否则，就将查找范围缩小一半。如果被查找的值小于a[mid], 就继续在左半边查找;如果被查找的值大于a[mid], 就继续在右半边查找。直到查找到该值或者查找范围为空时，查找结束。

基于数组的有序性，每次都将当前的数组分为两半，通过关键字和中间元素的比较，立即排除掉其中不可能存在和键值相等的元素的那一半。

这样，每次减少的一半元素的比较，前后叠加起来，就是二分查找相对于顺序查找提高的性能。

二分查找代码

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 22:55 2017/12/7
 */
public class BinarySearch {
  /**
   * @description: 二分查找
   * @param a:   待查找数组
   * @param key: 查找的关键字
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low = 0;
    int high = a.length-1;
    int mid;
    while(low<=high){
      mid = (low + high)/2;
      if(key<a[mid]) {
        high = mid - 1;
      }
      else if(key>a[mid]) {
        low = mid + 1;
      }
      else {
        return mid;
      }
    }
    return -1;
  }
}

通过mid = (low + high) / 2，并比较Key和a[mid]大小，根据比较的结果，用high = mid - 1和low = mid + 1 “丢掉”一半的元素（从mid = (low + high) / 2 可以看出被排除的一半元素不会纳入到下一次的比较中了）

整个过程中，左游标 low 和右游标 high 互相靠近，最后的结果可能有两个：

在low和high交叉前(low>high) 查找成功，查找结束
数组中没有和关键字等值的元素，最后low和high交叉（low>high）, 跳出while循环，返回 -1。

二分查找轨迹

下图所示的是我们在数组中查找关键字为8的元素的过程，一开始的时候左右游标分别指向数组的首末位置

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （0 + 9）/2 = 4, 而a[mid] = a4 = 4, Key = 8, 因为Key>a[mid]，所以Key必定出现在mid的右半边，左半边的元素可排除（a[0]~a4），将左半边待比较的元素“丢弃”。 “丢弃”的方法是将左游标 low 移动到当前 mid 右边相邻的位置，这样左半边的元素就不会出现在下次比较中了。

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （5 + 9）/2 = 7, 而a[mid] = a7 = 7, Key = 8, 因为Key>a[mid]，所以Key还是在数组的右半边, mid左半边的元素可排除（a5~a7）, 丢弃左半边待比较的元素——将左游标low移动到 8 的位置。

根据左右游标的下标取中间位置下标 mid = （8 + 9）/ 2 = 8，而a[mid] = a8 = 8, Key = 8，因为Key == a[mid], 查找成功。

使用了二分查找后，我们仅仅只比较了3次（比起比较了8次的顺序查找）

插值查找

看到这里你可能有点累了，再来段故事（接上文）

客人并没有像其他食客那样，面对珍馐美味而饕餮一番。

而是浅尝一口后，用手巾擦擦嘴，对店小二道：

“《二分》这道菜味道固然不错，软滑香糯，鲜美多汁”

“可这并不是你们大厨最富盛名的菜色吧！”，客人朗声说道，平静的脸上似有似无地飘着几分愠怒的神色。

店小二一惊，深知这位客人不是好伺候的主。“请您稍等！”，小二说完后便禀报大厨。

一刻钟后，第二道菜上来了。

“插值菜系么？” 这位口味刁钻的客人竟面露喜色，又重新拿起了调羹。
（未完待续）

回到正题：

插值查找的思路

上面的二分查找，每次是从数组的中间位置查找的，让我们把思维发散一下：查找的位置一定要从中间开始查找吗？

打个比方：我们在一本英文字典里面查找apple这个单词的时候，你肯定不会从字典中间开始查找，而是从字典开头部分开始翻，因为觉得这样的找法才是比较快的。

这给我提供了一个思路：如果能在查找前较准确地预测关键字在数组中的位置的话，这样设计出的查找方法能比二分查找提高更多的性能！基于这种思想，我们设计了插值查找的算法。

插值查找和二分查找非常相似，只要对原代码做少许变动就可以了。

二分查找中关键的一行代码，是mid = (low + high) / 2，转变一下就是mid = low + (high - low)/2, （high-low）后面乘的这1/2就是二分查找每次查找的位置。要实现插值查找，只要把这里的1/2替换成我们所预测的关键字的位置占数组总长度的比例就可以了。

这个比例，可以用公式(key - a[low])/ (a[high] - a[low])来计算，合起来插值查找对mid的计算公式是：

mid = low + (high - low)*（key - a[low]）/ (a[high] - a[low])

在元素数值均匀分布的有序数组里面，用这种方法查找是很快的。特别的，对绝对均匀分布的数组（相邻元素差值相同），插值查找用一次比较就能查找成功：

当然了，前提是数组中元素数值是均匀分布的，如果是对 1,2,40,99,1000这种分布很不均匀的数组，插值查找的计算会起到反效果，就不如二分查找了。

插值查找代码

代码如下：

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 23:09 2017/12/7
 */
public class InterpolationSearch {
  /**
   * @description: 插值查找
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low = 0;
    int high = a.length-1;
    int mid;
    while(a[low]!=a[high]&&key>=a[low]&&key<=a[high]){ // 这个判断条件很重要！ 不能缺少
      mid = low + (high - low)*(key - a[low])/(a[high] - a[low]);
      if(key<a[mid]) {
        high = mid - 1;
      }
      else if(key>a[mid]) {
        low = mid + 1;
      }
      else {
        return mid;
      }
    }
    if(key == a[low]) return low; // 如果是 2,2,2,2,2这种全部重复元素，返回第一个2
    else return -1;
  }
}

点击这里在线运行代码！

注意，一定要保证两点：

a[low]!=a[high] （插值公式里分母是a[high] - a[low]，不能等于0）
a[low]<=key<=a[high]

用这两点作为while循环的判断条件。

while循环里的判断条件可以是low<=high吗?

不可以！！这有可能导致在查找不存在的值时，让代码陷入while死循环

因为插值查找和二分查找很相似，很多同学可能会想：那我只要把mid = (low + high) / 2换成插值公式不就可以了嘛？其他不变就OK啦。

但请注意：

mid = low + (high - low)*(key - a[low])/(a[high] - a[low]);

这个公式里，（key - a[low]）在计算过程中是可能出现负值的，这个时候mid的变化就不是mid = low + 一个正值。而是mid = low + 一个负值， mid会出现意外减少的情况，如果这个时候又刚好key>a[mid]的话，那么low也会减少，因为：

  else if(key>a[mid]) {
    low = mid + 1;
  }

然后原本只能增加（向右移动）的左游标low竟然减少（向左移动）了！

下面用debug测试: 在 1,4,6,9,11,66,78中查找22时，每一轮的low和hign游标的值

用[low,high]表示，变化如下：

[0,6]
[1,6]
[2,6]
[3,6]
[4,6]
[5,6]
[3,6]  // low从5倒退到3的位置， 开始死循环
[4,6]
[5,6]
[3,6] // 第二轮的死循环.....

......

原因也就是我上面所说的，因为插值公式的计算里， key - a[low]计算出了负值，在这个例子中是22 - 66 = -44所导致的。

如果你去百度“插值查找”，几乎所有博客都告诉你, while循环里的判断条件是while(low<=high)。

对此，我只想说：

处理边缘情况：重复元素

有一种很讨厌的边缘情况，那就是输入的数组全部都是重复元素，例如2,2,2,2因为while循环里的a[low]!=a[high]的判断条件，所以它并不会进入while循环并造成可怕的“除0”错误，但如果这个时候刚好key = 2，我们总不能返回 -1 吧，所以在while循环下面我们设置了这一段代码：

if(key == a[low]) return low; // 如果是 2,2,2,2,2这种全部重复元素，返回第一个2
else return -1;

B .

你可能还担心一种情况，那就是：对1,2,2,2,3,5这样的数组，一开始的时候是能进入while循环的，但万一在循环中发生了a[low] - a[high] = 0 导致“除0”错误怎么办呢？放心，从逻辑上可以判断这不会发生，因为low和high并不会同时使a[low]和a[high]等于2，这一点我们分类讨论：

对上面的数组，假设重复元素就是Key,那么当a[low]或a[high]取到该元素时就跳出while循环了
假设重复元素不是Key, 例如是3, 这时high不动，low会一直右移直到跳过2
假设重复元素不是Key,且Key不存在，例如查4，分析同2

裴波那契查找

能看到这里真是辛苦你了，继续一段上面的故事

《插值菜系》上桌后，已经被客人吃完了一半。这时，他却把调羹放下了。小二觉察，漫步前来。

“非常美味的料理，称之为山珍海味也不为过” ， “然而，却仍然不是我最想吃到的那道菜。”

小二愣了，就算是权倾朝野的显贵登临，也未曾说过此番言语。

“你们的主厨，可是姓裴？”

店小二顿时醒悟， “请您再稍等片刻！”，说完后便前去告知厨子

片刻，上了第三道菜。已经很多年没人点这道菜了，以至于它早在这家食府的菜单上遗失。

这道菜看上去很少，碗里却好似托着着山与海

那盛菜的青花玉盘的釉面上，清晰地镌刻着“1、1、2、3、5、8、13、21”等一连串数字。

（未完待续）

进入正题

裴波那契查找的来源

裴波那契数列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）这一条件递增的一串数字：

1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...

两个相邻项的比值会逐渐逼近0.618 —— 黄金分割比值。这个非常神奇的数列在物理，化学等各大领域上有相当的作用，于是大家想：能不能把它用在查找算法上嘞？？

于是就有了裴波那契查找算法，裴波那契数列最重要的一个性质是每个数都等于前两个数之和（从第三个数字开始）。也就是一个长度为f(n)的数组，它能被分成f(n-1)和f(n-2)这两半，而f(n-1)又能被分为f(n-2)和f(n-3)这两半。。。直到分到1和1为止（f(1)和f(2)）。

（注意一个细节：在分割时，可以选择将“大块”的f(n-1)放前面部分，也可以将“小块”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大块”在前进行的）

这里我们发现，二分查找，插值查找和裴波那契查找的基础其实都是：对数组进行分割，只是各自的标准不同：二分是从数组的一半分，插值是按预测的位置分，而裴波那契是按它数列的数值分。

三个数组以及它们之间的关系。

了解裴波那契查找的算法实现，最重要的是理解“三个数组”之间的关系，它们分别是：

待查找数组 (a)
裴波那契数组(fiboArray)
填充后数组(filledArray)

裴波那契数组

要按裴波那契数分割，我们当然要创建一个容纳有裴波那契数的数组，那么，怎么确定这个数组的长度呢？或者说，怎么确定数组里裴波那契数的最大值呢？（最后一个值）

答：只要刚好能满足我们的需要就可以了，裴波那契数组的长度，取的是大于等于待查找数组长度的最小值。原数组长4则取5，长6则取8，长13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）

填充数组

其次我们要考虑的是：我们的数组长度不可能总是满足裴波那契数的，例如5、8、13、21等是裴波那契数，但我们的数组长度可能是6,7,10这些非裴波那契数，那这时候怎么办呢？总不能对长度为10的待查找数组按照8和13进行第一次分割吧，所以我们应该按照上面选定的裴波那契数组的最大值，创建一个等于该长度的填充数组，将待查找数组的元素依次拷贝到填充数组中，剩下的部分用原待查找数组的最大值填满。

我们进行查找操作的并不是原待排序数组，而是对应的填充数组！

查找到填充的部分元素如何处理？

当我们在填充数组中查找成功后，该元素可能来源于在原数组的基础上填充的部分元素（上图黄色9），返回的下标(10,11,12)显然是不准确的，而应该返回原数组的最后一个元素的下标(9) 。

所以，解决方法就是：在填充数组中查找成功后，判断返回的元素下标和原数组长度的关系，如果：返回下标 > 原数组长度 - 1, 那么改为返回原数组最后一个元素下标就OK了。

查找过程
OK，有了上面的基础我们总结下查找的过程：

根据待查找数组长度确定裴波那契数组的长度（或最大元素值）
根据1中长度创建该长度的裴波那契数组，再通过F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契数列为数组赋值
以2中的裴波那契数组的最大值为长度创建填充数组，将原待排序数组元素拷贝到填充数组中来，如果有剩余的未赋值元素，用原待排序数组的最后一个元素值填充
针对填充数组进行关键字查找，查找成功后记得判断该元素是否来源于后来填充的那部分元素

具体代码

/**
 * @Author: HuWan Peng
 * @Date Created in 16:54 2017/12/7
 */
public class FibonacciSearch {
  /**
   * @description: 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
   * @param a: 待查找的数组
   */
  private static int[] makeFiboArray(int[] a){
    int N = a.length;
    int first = 1,sec = 1,third=2,fbLength = 2;
    int high = a[N-1];
    while (third<N) { // 使得裴波那契数不断递增，直到值刚好大于等于原数组长度为止
      third = first + sec; // 根据f(n) = f(n-1)+ f(n-2)计算
      first = sec;
      sec = third;
      fbLength++; // 计算最后得到的裴波那契数组的长度
    }

    int [] fb = new int[fbLength]; // 根据上面计算的长度创建一个空数组
    fb[0] = 1; // 第一和一二个数是迭代计算裴波那契数的基础
    fb[1] = 1;
    for(int i=2;i<fbLength;i++){
      fb[i] = fb[i-1] + fb[i-2]; // 将计算出的裴波那契数依次放入上面的空数组中
    }

    return fb;
  }
  /**
   * @description: 裴波那契查找
   */
  public static int search (int [] a, int key) {
    int low, high;
    int lastA;
    int [] fiboArray = makeFiboArray(a); // 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
    int filledLength = fiboArray[fiboArray.length-1];
    int [] filledArray = new int[filledLength]; // 创建长度等于裴波那契数组最大值的填充数组

    for(int i=0;i<a.length;i++) {
      filledArray[i] = a[i]; // 将原待排序数组的元素都放入填充数组中
    }

    lastA = a[a.length-1]; // 原待排序数组的最后一个值
    for (int i=a.length;i<filledLength;i++) {
      filledArray[i] = lastA; // 如果填充数组还有空的元素，用原数组最后一个元素值填满
    }

    low = 0;
    high = a.length; // 取得原待排序数组的长度 （注意是原数组！）
    int mid;
    int k = fiboArray.length -1;
    while(low<=high) {
      mid = low + fiboArray[k-1]-1;
      if(key<filledArray[mid]) {
        high = mid-1; // 排除右半边的元素
        k= k-1;       // f(k-1)是左半边的长度
      }else if(key>filledArray[mid]) {
        low = mid+1;  // 排除左半边的元素
        k = k-2;      // f(k-2)是右半边的长度
      }else {
        if(mid>high){ // 说明取到了填充数组末尾的重复元素了
          return high;
        }else {
          return mid; // 说明没有取到填充数组末尾的重复元素
        }
      }
    }
    return -1;
  }
}