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数据结构-自平衡二叉查找树（AVL）详解

标签：

Java 数据结构

介绍：

在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 “An algorithm for the organization of information” 中发表了它。

特点：

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

节点数：

高度为 h 的 AVL 树，节点数 N 最多2^h − 1；最少N(h)=N(h− 1) +N(h− 2) + 1。

最少节点数n 如以斐波那契数列可以用数学归纳法证明：
即:
N(0) = 0 (表示 AVL Tree 高度为0的节点总数）
N(1) = 1 （表示 AVL Tree 高度为1的节点总数）
N(2) = 2 （表示 AVL Tree 高度为2的节点总数）
N(h)=N(h− 1) +N(h− 2) + 1 （表示 AVL Tree 高度为h的节点总数）

节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度。带有平衡因子 1、0 或 -1 的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2 或 2 的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。